Wiener Filter

设观测信号\(x(t)\)为期望信号\(s(t)\)和噪声信号\(n(t)\)的叠加，也即

\begin{align*} x(t) = s(t) + n(t). \end{align*}

其中，\(s(t)\)和\(n(t)\)是宽平稳过程，且相互联合宽平稳，观测信号\(x(t)\)和期望信号\(s(t)\)的自相关函数和互相关函数分别为\(R_x(\tau)\)、\(R_s(\tau)\)和\(R_{sx}(\tau)\)，功率谱密度函数及其互功率谱密度函数分别为\(S_x(f)\)、\(S_s(f)\)和\(S_{sx}(f)\)。

如果要设计一个冲激响应为\(h(t)\)的滤波器，使得其输出信号和期望信号\(s(t)\)的均方误差达到最小，这样的滤波器称为Wiener滤波器，又称均方滤波器。其冲激响应\(h(t)\)满足Wiener-Hopf方程。

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}R_{x}(t - \tau) h^*(\tau)d\tau = R_{sx}(t). \end{align*}

相应地，其传递函数为

\begin{align*} H^*(f) = \frac{S_{sx}(f)}{S_x(f)}. \end{align*}