Matched Filter

设时间\([0, T]\)内的观察信号\(r(t)\)为信号\(s(t)\)和噪声\(n(t)\)的叠加，也即

\begin{align*} r(t) = s(t) + n(t), \quad t \in [0, T] \end{align*}

如果要设计一个冲激响应为\(h(t)\)的滤波器，使得其输出在\(t = T\)时的信噪比(signal to noise power ratio, SNR)最大，这样的滤波器称为匹配滤波器(matched filter, MF)。其冲激响应为

\begin{align*} h(t) = C s^*(T - t), \end{align*}

其中，\(C\)为非零常数。

证明过程如下: 滤波器在\(t = T\)时的SNR为

\begin{align*} \gamma(T) = \frac{\left|\int_{-\infty}^{\infty}S(f)H(f)e^{j2 \pi f T}df\right|^2} {N_0 \left|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)e^{j2 \pi f T}df\right|^2}, \end{align*}

其中，\(S(f)\)和\(H(f)\)分别为\(s(t)\)和\(h(t)\)的Fourier变换，\(N_0\)为噪声的功率谱密度。

根据Cauchy-Schwartz不等式有

\begin{align*} \gamma(T) &\le \frac{\left|\int_{-\infty}^{\infty}S(f)e^{j2 \pi f T}df\right|^2 \cdot \left|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)e^{j2 \pi f T}df\right|^2} {N_0 \left|\int_{-\infty}^{\infty}H(f)e^{j2 \pi f T}df\right|^2} \\ &= \frac{\left|\int_{-\infty}^{\infty}S(f)e^{j2 \pi f T}df\right|^2}{N_0} \end{align*}

当且仅当\(H(f) = C S^*(f) e^{-j 2 \pi f T}\)也即\(h(t) = C s^{*}(T - t)\)时等号成立，其中，\(C\)为非零常数。